Poliedros Regulares Estrellados

Este es un trabajo matemático que muestra la verdad de los poliedros regulares cóncavos estrellados, porque un poliedro que posea sus caras con triángulos isósceles o escaleno no  es un poliedro regular.

Estoy seguro que en el 1619 cuando el matemático y astrónomo Johannes Kepler estableció las reglas de un poliedro regular convexo, debido a la falta de conocimientos, se cometieron varios errores matemático y entiendo que la Unión Matemática Internacional (IMU) debería tomar carta en el asunto y verificar  cuales son los verdaderos poliedro regulares  estrellado.

Entiendo que actualmente, parece que estamos como en los tiempos de  Nicolás Copérnico  cuando rompió con la farsa teoría de Tolomeo, y al parecer yo soy el Copérnico de este tiempo.

 

 

Teorema

Existen cinco y solamente cinco poliedros Perfectos cóncavos estrellados.

 

Demostración      

Sea E un  poliedro perfecto cóncavo estrellado con C caras equiláteras congruentes, V vértices uniformes en cada categoría y A aristas uniformes y congruentes entre sí. Cada cara con n lados, entonces cada vértice de orden 2m y cada vértice de orden m, forman dos pares poliédricos V (2x, n) + V (m, n), cuya sumas de vértices indican la cantidad total, de vértice del poliedro perfecto estrellado E.

Entonces:

A)     C + V - A = 2; ya que el Teorema de Euler se cumple para cualquier poliedro  de caras triangulares sea este convexo o cóncavo y que el poliedro no posee agujero.

Poliedros Triangulares: Son cuerpos geométricos tridimensionales que poseen todas sus caras poliédricas integradas por triángulos.

L es una variable la cual representa el lugar a que pertenece cada uno de los términos de las tres sucesiones crecientes que corresponden a un poliedro triangular seleccionado.

 La variable (L) es común, al número de arista, cara y vértice de cualquier poliedro triangular seleccionado.

Con la variable (L) determinamos la posición del orden numérico natural al que corresponde cada poliedro triangular.

Como el poliedro triangular de menor número de cara que existe es el tetraedro entonces las secuencias la haremos partir desde este poliedro.

 La sucesión creciente del número de vértice es: (4, 5, 6, 7, 8, …; ∞) entonces la fórmula que representa esta sucesión es VL=L+3, comienza desde 4 y se le suma 1, luego al 5 se le suma 1 y así sucesivamente iremos sumando 1 a cada número anterior hasta extendernos al infinito.

  La sucesión creciente del número de cara es: (4, 6, 8, …14…;∞) entonces la fórmula que representa esta sucesión es: CL=2L + 2, comienza desde 4 y se le suma 2, luego al 6 se le suma 2, y así sucesivamente iremos sumando 2a cada número anterior hasta  extendernos  al infinito.

La sucesión creciente del número de arista es: (6, 9, 12, 15…∞) entonces la fórmula que representa esta sucesión es AL=3L+3, comienza desde 6 y se le suma 3, luego al 9 se le suma 3 y así sucesivamente iremos sumando 3 a cada número anterior hasta extendernos al infinito.

A = 3L + 3, C= 2L+2, V = L+3, estas son las tres formulas fundamentales que corresponden alas tres sucesiones crecientes que poseen los  poliedros triangulares.

Si en la formula de Euler(C+V-A=2)  sustituimos los valores de cara vértices y arista de las formulas de tres sucesiones crecientes de los poliedros triangulares tenemos.

 

(C+V- A=2) sustituyendo

 (2L+2) + (L+3) – (3L+3) = 2 reduciendo

2L+ 2 + L + 3 – 3L – 3 = 2

3L - 3L + 5 – 3 = 2

2 = 2

Esto indica que la formula de Euler es válida para los poliedros cóncavos y convexo que no posean agujeros.

 

B)    2A = mV, pues de cada vértice salen m aristas, todos los vértices son del mismo orden,   además cada arista pertenece a dos caras y por tanto se cuenta dos veces. V=2A / m.

A)     2A = nC dado que cada cara tiene n aristas, y cada arista pertenece a dos caras, por tanto se cuenta dos veces. C=2A /n.   

Sustituyendo (b) y (c) en (a) llegamos a la expresión 2A /m + 2A /n – A = 2.

 Multiplicando por (mn) (2A /m + 2A /n – A = 2) y reduciendo (2Amn/m +2amn/n – Amn = 2mn) =2An +2Am –Amn = 2mn. Factorizando el primer miembro de la igualdad tenemos A (2m + 2n –mn) = 2mn de donde podemos deducir que 2m + 2n - mn > 0, porque  V + C – A > 0.

 

Luego las soluciones enteras para esta inecuación  2m + 2n - mn > 0,   la encontramos sustituyendo los valores de las variables  m, n que satisfagan la inecuación dejando establecidos los vértices de los poliedros estrellados perfectos V (2m, n) + V (m, n).

Como los poliedros cóncavos estrellados perfecto están todos compuestos por caras poliédricas que son triángulos equiláteros entonces siempre n = 3. Primera etapa: utilizaremos el par poliédrico V (2m, n) y estableceremos los números que satisfacen la inecuación  2m + 2n - mn > 0. Teniendo en cuenta que para el par poliédrico cóncavo V (2m, n), 360 ≤ m ≥ 720, que la suma de los ángulos del conjunto de polígono comunes a un vértices es mayor o igual a cuatro ángulos rectos y menor que ocho ángulo recto.   

Segunda etapa: utilizaremos el par poliédrico V (m, n) y establecer los números que satisfacen la inecuación  2m + 2n - mn > 0. Teniendo en cuenta que para el par poliédrico convexo V (m, n), m <  360, que la suma de los ángulos del conjunto de polígono comunes a un vértices es menor que cuatro ángulo recto.

A)    Siendo m = 3, n =3 sustituyendo en 2m + 2n - mn > 0 = 2(3) + 2(3) – (3)(3) > 0 = 6 + 6 - 9 ˃ 0 = 3 ˃ 0, este es el primer par poliédrico cóncavo: V (2m, n) sustituyendo m = 3, n = 3 V (2(3), (3)) = V (6, 3) satisface la inecuación.

B)    Siendo m = 4, n =3 sustituyendo en 2m + 2n - mn > 0 = 2(4) + 2(3) – (4)(3) > 0 = 14 -12 ˃ 0 = 2 ˃ 0, el segundo par poliédrico cóncavo es, V (2m, n) = V (2(4), (3)) = V (8, 3) satisface la inecuación.

C)    Siendo m = 5, n =3 sustituyendo en 2m + 2n - mn > 0 = 2(5) + 2(3) – (5)(3) > 0 = 16 - 15 ˃ 0 = 1 ˃ 0, el tercer par poliédrico cóncavo es, V (2m, n) = V (2(5), (3)) = V (10, 3) satisface la inecuación.

D)     Siendo m = 6, n =3 sustituyendo en 2m + 2n - mn > 0 = 2(6) + 2(3) – (6)(3) > 0   = 12+ 6 - 18 ˃ 0 = 0 ˃ 0,   esto es falso porque cero es igual a cero por lo tanto el cuarto par poliédrico es V (2m, n) = V (12, 3), y no satisface la inecuación  

Luego procedemos a trabajar con el par poliédrico convexo V (m, n) y establecemos  los  pares poliédricos que satisfagan la ecuación Eurleriana A = 2mn /2m + 2n - mn

 

E)     Siendo m = 3, n =3 sustituyendo en 2m + 2n - mn > 0 = 2(3) + 2(3) – (3)(3) > 0 = 6+6-9 ˃ 0 = 3 ˃ 0, el primer par poliédrico es:  V (m, n)  sustituyendo m = 3, n = 3 tenemos V ((3), (3)) =  V (3, 3), satisface la inecuación.

El bis-par poliédrico posee un bis-orden el cual es uniforme en el poliedro regular estrellado, donde todas sus aristas comunes al vértice son congruentes. V(〖2m〗_1, n_1 )+ V(m_2, n_2 )

F)      Siendo m = 4, n =3 sustituyendo en 2m + 2n - mn > 0= 2(4) + 2(3) – (4)(3) > 0 = 8 + 6 – 12 ˃ 0 = 2 ˃ 0, el segundo par poliédrico es:             V (m, n)  sustituyendo m = 4, n = 3, V (4, 3), satisface la inecuación.

G)    Siendo m = 5, n =3 sustituyendo en 2m + 2n - mn > 0 = 2(5) + 2(3) – (5)(3) > 0 = 10+ 6 - 15 ˃ 0 = 1 ˃ 0, el tercer par poliédrico es: V (m, n)  sustituyendo m = 5, n = 3, V (5, 3), satisface la inecuación.

H)    Siendo m = 6, n =3 sustituyendo en 2m + 2n - mn > 0 = 2(6) + 2(3) – (6)(3) > 0 = 12+ 6 - 18 ˃ 0 = 0 ˃ 0,   esto es falso porque cero es igual a cero por lo tanto el cuarto par poliédrico es V (6, 3), y no satisface la inecuación.

 

 

 

 

Entonces con V (2m, n)  tenemos un conjunto de tres pares poliédricos al cual llamaremos conjunto Z = {V (6, 3), V (8, 3), V (10, 3)} y con V (m, n).

 Tenemos otro conjunto de tres pares poliédricos, al cual llamaremos conjunto T = {V (3, 3), V (4, 3), V (5, 3)}.

 Si combinamos los elementos de ambos conjuntos poliédricos tendremos nueve combinaciones diferentes de pares poliédricos, las cuales formaran el conjunto S.  S = {V (6, 3) + V (3, 3),

 V (6, 3) + V (4, 3),

 V (6, 3) + V (5, 3),

V (8, 3) + V (3, 3),

V (8, 3) + V (4, 3),

V (8, 3) + V (5, 3),

V (10, 3) + V (3, 3),

 V (10, 3) + V (4, 3),

V (10, 3) + V (5, 3)}.

Como todas las caras de las estelaciones son triángulos equiláteros, para elegir correctamente entre las  nueve combinaciones anteriores que están representadas en el conjunto S, utilizaremos el par poliédrico V (2m, n) en el que m = 3, n = 3, sustituyendo en V (2m, n) = V (6, 3), esto indica que de las nueve combinaciones, son elegibles todas las combinaciones que comiences con V (6, 3),   y obtenemos como resultado el conjunto W = { V (6, 3) + V (3, 3), V (6, 3) + V (4, 3), V (6, 3) + V (5, 3)}, tres elementos.        

 

Como todas las caras de las estelaciones son triángulos equiláteros, para elegir correctamente con V (m, n) de las  nueve combinaciones anteriores, m = 3, n = 3, donde V (m, n) = V (3, 3), esto indica que de las nueve combinaciones, todas las combinaciones que terminen con V (3, 3), son las elegibles, esto nos da el conjunto Y = { V (6, 3) + V (3, 3), V (8, 3) + V (3, 3), V (10, 3) + V (3, 3)}, tres elementos.        

  

Si unimos ambos conjuntos W  Y = E, tenemos la cantidad de combinaciones de poliedros cóncavos perfectos estrellados al cual nombraremos conjunto E.

Debido a que el conjunto W  y el conjunto Y posen el elemento V (6, 3) + V (3, 3), en común, por esta  razón el conjunto E, posee 5 elementos.

E =  {V (6, 3) + V (5, 3), V (6, 3) + V (4, 3), V (6, 3) + V (3, 3), V (8, 3) + V (3, 3), V (10, 3) + V (3, 3)}

 

 V (6, 3) + V (5, 3) =Ultra Icosaedro Cóncavo Exterior o Icosaedro Estrellado Davinciano https://www.geogebra.org/classic/XFfRm6cP  V (6, 3) + V (4, 3) = Octaedro Estrellado Davinciano, o estrella octángula de Kepler https://www.geogebra.org/classic/nmp3e6MZ . V (6, 3) + V (3, 3) = Gran Tetraedro, oTetraedro estrellado Davinciano https://www.geogebra.org/classic/jF68xr72, V (8, 3) + V (3, 3) = Gran Cuboedro, o Hexaedro estrellado Davinciano https://www.geogebra.org/m/tta8VBhm, V (10, 3) + V (3, 3) =  Híper Dodecaedro Cóncavo Exterior o Dodecaedro estrellado Davinciano https://www.geogebra.org/m/cjYXyBGF }

 

 

Las Tres Leyes Fundamentales

De los Poliedros Perfectos.

Estas tres leyes fundamentales sirven para someter a prueba a cualquier poliedro que sea cóncavo o convexo y aquellos poliedros que cumplan con estas tres leyes, entonces son certificados como poliedro perfecto. Los poliedros que no cumplan por los menos  con una parte de una de estas leyes fundamentales entonces no son poliedros perfectos.

Estas tres leyes sintetizan las características fundamentales que posee cualquier poliedro perfecto, y son:

1)   En cualquier poliedro perfecto, todas las caras poliédricas sin importar la categoría a la que pertenecen son equiláteras y uniformes entre sí. Por lo tanto el perímetro de una de la caras de un poliedro, dividida entre el perímetro de cualquiera de las caras, sin importar a la categoría a la que pertenece, siempre será una constante proporcional igual a uno, K=1.

Si las caras de un poliedro perfecto son polígonos equiláteros, siendo las variables  b, c, d, cualquieras de las  caras equiláteras y uniformes entre sí, entonces el perímetro = P. Siendo b = c, c = d, se cumple por ley transitiva de la igualdad que b = d, pero   por lo que  cualquiera de las  caras  tiene un perímetro igual a (P). Entonces b = P, c = P, d = P, e = P, estableciendo la relación de la constante proporcional k, tenemos:   según las leyes matemática, toda cantidad elevada a potencia cero es igual a uno, por lo tanto k = 1

 

2)   En un poliedro perfecto todos los vértices de una misma categoría tienen el mismo orden y son uniforme entre sí.

El conjunto de  las aristas que son comunes a estos vértices, son uniforme y congruentes entre sí.

 P es un poliedro perfecto, en el cual el orden de los vértices esta dado por el termino poliédrico V (m, n) la variable (V) muestra cuantos vértices posee el poliedro, la variable  (m) muestra el orden del vértices es  decir cuántas arista son comunes a un vértices,   y la variable (n) representa la cantidad de arista que posee, el polígono que es común a un vértice poliédrico. Como todos los vértices de una misma categoría son iguales y poseen el mismo orden, entonces un poliedro perfecto convexo posee solamente un solo Par poliédrico, el cual representa todos los vértices de un poliedro perfecto convexo. Por lo tanto los poliedros perfectos convexos pertenecen a una  categoría intermedia de caras vértices y aristas.  Si x/x es un poliedro perfecto convexo que posee un solo par poliédrico, porqué todos su vértices poseen el mismo orden de uniformidad, todas sus caras son equiláteras e iguales entre sí, y todas su arista son uniformes.

Si un poliedro convexo posee más de un par poliédrico es porque posee dos o más clase, de vértice de orden diferente entonces no es un poliedro convexo perfecto.

La cantidad de par poliédrico de un poliedro regular perfecto es directamente proporcional a la cantidad de categorías a la que pertenece el poliedro regular perfecto.  

 

Los poliedros regulares cóncavos poseen dos categorías de vértices y cada categoría de vértice de un poliedro perfecto cóncavo,   define perfectamente un poliedro perfecto convexo.

 

  Las caras de un poliedro estrellado pertenecen a la categoría exterior o estrelladas.

Todos los  poliedros estrellados poseen dos categorías de par poliédricos, los cuales son: el par poliédrico intermedios, que agrupa el conjunto de vértices intermedio del poliedro estrellado y cuyo conjunto de vértice intermedio define perfectamente un poliedro perfecto convexo.  El otro es  el par poliédrico exterior, que agrupa el conjunto de todos los vértices exteriores de un poliedro estrellado perfecto y cuyo conjunto de vértices describe perfectamente un poliedro convexo estrellado.

 

Los poliedros  huecos pertenecen a dos categorías poliédricas, las cuales son la categoría intermedia y categoría interior. En estos poliedro existen un conjunto de vértices y arista de categoría intermedia y otro conjunto de vértice, aristas y caras de categoría interior.

Además poseen la categoría de par poliédrico intermedio que agrupa el conjunto de todos los vértices intermedio que tiene un mismo orden en un poliedro hueco.  La categoría de par poliédrico interior que agrupa el conjunto de todos los vértices interiores que tienen un mismo orden, en un poliedro hueco.

Existe uno y solo un poliedro hueco perfecto, el cual posee dos categorías de vértices: la categoría de vértice intermedio que describe perfectamente un poliedro regular convexo y la categoría de vértice interiores que describen perfectamente un poliedro convexo regular.

Si los vértice de un poliedro son intermedio, o exteriores, o interiores se cumple : A (m, n), B (m, n), C (m, n)….. … N (m, n)  y el orden de todos los vértices son iguales, A (m, n) = B (m, n) = C (m, n) = ……..N (m, n) = A + B + C +…….N (m, n) = V (m, n), entonces el numero vértice (V) es igual a la suma de todos los vértices de una misma categoría que poseen el mismo orden poliédrico.

 

 

3)   En un poliedro perfecto, todas las arista sin importar a la categoría de arista a la que pertenece, son uniformes y congruentes entre sí. Por lo que, en todo poliedro perfecto la constante proporcional k, en la  relación que se establece con las aristas, siempre es igual a uno, K = 1.

 

Siendo ab= arista de la base, ax = arista de cualquier categoría, si ab = ax, ab ˃ 0, abR entonces, esta fórmula establece que para todo poliedro regular perfecto, la constante proporcional de la relación de las aristas uniformes congruentes entre sí, que forman dicho poliedro regular perfecto, siempre es igual a uno. .

En esta ocasión:

https://www.diariolibre.com/noticias/morador-de-cristo-rey-asegura-descubri-nuevos-poliedros-BNDL270760